L’addition des vitesses selon la relativité

J’ai enfin retrouvé ce raisonnement mathématique de quelques lignes. Comment découvrir l’une des formules fondamentale de la relativité niveau 3ième.

Le saviez-vous: la loi d’addition des vitesses dans la même direction est plutôt simple,
$$V=v_1+v_2$$. Mais cela n’est en fait qu’une approximation. Cette formule ne marche que pour des vitesses très inférieures à la vitesse de la lumière (que l’on appelle « c »).

Si un atome qui se déplace à la vitesse \(v\), émet un photon dans la même direction à la vitesse \(c\), celui-ci sera observé à la vitesse \(c\) et non à la vitesse \(c+v\). C’est une des constatations étonnante du début du 20ième siècle: alors que les vitesses auraient dû s’ajouter, elles ne s’additionnent pas exactement comme on le pensait.

Voici comment définir ce comportement « asymptotic » de la vitesse de la lumière:

$$V(v_1,v_2)=f(v_1,v_2)(v_1+v_2)$$

Lorsque \(v_1=c\), on obtient évidemment \(V=c\), ainsi
$$f(c,v_2)=\frac{c}{c+v_2}=\frac{1}{1+\frac{v_2}{c}}$$
et de même
$$f(v_1,c)=\frac{c}{v_1+c}=\frac{1}{1+\frac{v_1}{c}}$$

Si à la fois, \(v_1\) et \(v_2\) sont égales à \(c\),
$$f(c, c) = \frac{c}{c+c} = \frac{1}{1+1}$$
Un petit moment de réflexion devrait vous convaincre qu’une fonction cohérente avec cette propriété est:
$$f(v_1,v_2)=\frac{1}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}$$
Ainsi, nous obtenons la loi d’addition des vitesses relativiste:

$$V=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}}$$